Він народився в родині службовців на Вінничині (с. Жданівка, Хмельницького р-ну). Перед початком Великої Вітчизняної війни у 1941 р. закінчив Погребищенську середню школу. Три роки – з липня 1942 р. по травень 1945 р.  – він воював у складі Північного війського-морського флоту.

У період 1945-1950 рр. А.М. Зелінський навчається спочатку у Чернівецькому, а потім у Вінницькому медичному інституті ім. Пирогова, після закінчення якого він розпочав трудову діяльність на посаді завідувача Оратівського районного відділу охорони здоров'я в Вінницької області.

У 1951-1954 рр. працює на посаді першого заступника завідувача обласного відділу охорони здоров'я Вінницької обл., у 1970-1987 рр. – працює на посаді першого заступника Міністра охорони здоров'я України. В цей період його діяльності було чимало зроблено в справі організації по створенню відповідної матеріально-­технічної бази лікувально-профілактичних закладів і наукових медичних установ в Україні, зокрема це – київські «Медмістечко» та корпуси Інституту педіатрії, акушерства та гінекології, на Вінниччині – курорт «Хмільник», на Закарпатті – всесвітньовідома алергологічна лікарня «Солотвино».

За багато років плідної діяльності А.М. Зелінського на керівних посадах в галузі охорони здоров'я знаменувало вирішальні якісні і кількісні зрушення, оновлення та зміцнення системи охорони здоров'я. Це, зокрема, урядові рішення про створення низки навчальних та наукових медичних установ (Української медичної стоматологічної академії, Запорізького медінституту, Госпіталю інвалідів Великої Вітчизняної війни, Республіканського центру медичної статистики, мережі протитуберкульозних, кардіологічних, наркологічних диспансерів, будинків малят тощо), будівництво лікарень різного рівня у більшості регіонів України.

У 1970 р. Анатолій Миколайович координує боротьбу з холерою в Одесі, Керчі, він приклав чимало зусиль для якнайшвидшої ліквідації небезпечної епідемії.

26 квітня 1986 року Україну спіткала велика біда – аварія на Чорнобильській АЕС… В той час Анатолій Миколайович Зелінський відповідає за медичне забезпечення евакуації населення, організацію обстеження евакуйованих, санітарну обробку, медичну допомогу, йодопрофілактику на уражених територіях, дослідження повітря, води, створення медичних бригад і санітарного автотранспорту з усіх областей республіки для роботи в 30-ти кілометровій зоні, медичне обслуговування ліквідаторів і евакуйованого населення та ще чимало іншого, щоб пом'якшити наслідки небезпечної катастрофи.

З 1987 року по 1993 рік А.М. Зелінський працює на посаді завідувача кафедри соціальної гігієни і організації охорони здоров'я по підвищенню кваліфікації керівних кадрів охорони здоров'я НМУ імені О.О.Богомольця, а потім доцентом цієї кафедри. За ці роки А.М. Зелінським на кафедрі було підготовлено біля 2000 організаторів і управлінців медичної галузі з питань організації і управління охороною здоров'я.

Говорячи про роки невтомної самовідданої праці А.М. Зелінського, переконуєшся, що він був справжнім лицарем охорони здоров'я, чесним, наполегливим працівником на цій ниві. До цього слід додати чудові людські якості – скромність, порядність, повага до всіх, хто мав з ним справу велику чи маленьку. У цьому А.М.Зелінський залишається взірцем для багатьох з нас.

Співробітники кафедри соціальної гігієни і організації охорони здоров'я по підвищенню кваліфікації керівних кадрів охорони здоров'я щиро вітають Анатолія Миколайовича зі славним ювілеєм і бажають йому щастя, доброго здоров’я, творчої наснаги і завжди тільки успіхів у всіх його задумах і справах.